Question

已知函数 ，为的导数.
（1）当时，求的单调区间和极值；
（2）设，是否存在实数，对于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）在单调递减，在单调递增，_极大=_极小=
（2）存在符合要求

试题分析：（1）当时，，，
令得：、，                                       ……2分
所以在单调递减，在单调递增，              ……4分
所以_极大=_极小=                          ……6分
（2）在上是增函数，故对于，.
设.
，
由，得.                                               ……8分
要使对于任意的，存在使得成立，只需在上，
-， 
在上；在上，
所以时，有极小值                  ……10分
又，
因为在上只有一个极小值，故的最小值为  ……12分
 解得.                                 ……14分
点评：导数是研究函数性质的主要依据，研究性质时一定不要忘记考虑函数的定义域.