Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=（）²成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）记数列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n项和为T_n．
①若数列{T_n}的最小值为T₆，求实数λ的取值范围；
②若数列{b_n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，即可得到法一或法二；
（2）①由题意可得T_n≥T₆，即可求出λ的取值范围；
②因{bn}是“封闭数列”，设b_p+b_q=b_m（p，q，m∈Z^*，且任意两个不相等 ）得2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化为λ=2（m-p-q）+1，则λ为奇数．
由任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++…+＜．
得 ，化为，即λ的可能值为1，3，5，7，9，
又＞0，因为，检验得满足条件的λ=3，5，7，9，
解答：（1）法一：由S_n=（）² 得：①，②，
②-①得，得到2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
由题知a_n+1+a_n≠0得a_n+1-a_n=2，
又，化为，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=1+（n-1）×1=2n-1，
因此前n项和S_n==n²；
法二：由，化为，解得a₁=1．
当n≥2时，，
得到，即
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴=n，得到．
（2）①由b_n+2n-1+λ得到其前n项和T_n=n²+λn，
由题意T_n最小值为T₆，即T_n≥T₆，n²+λn≥36+6λ，
化为，∴λ∈[-13，-11]．
②因{bn}是“封闭数列”，设b_p+b_q=b_m（p，q，m∈Z^*，且任意两个不相等 ）得
2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化为λ=2（m-p-q）+1，则λ为奇数．
由任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++…+＜．
得 ，化为，即λ的可能值为1，3，5，7，9，
又＞0，因为，
检验得满足条件的λ=3，5，7，9，
即存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，
且＜+++…+＜．，
所以实数λ的所有取值集合为{3，5，7，9}．
点评：数列掌握进行转化及正确理解“封闭数列”的意义是解题的关键．