Question

过抛物线上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足， 且=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的抛迹方程.

Answer 1

解一：过抛物线上点A的切线斜率为切线A B的方程、D的坐标为B（0，－1），D（，0），∴D是线段AB的中点.……………………5分

    设P（、C）、E（、

    F（，则由知，

    ;

    ，得.

    ∴EF所在直线方程为：，

    化简得……①……10分

    当时，直线CD的方程为：……②

    联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：.……15分

    当时，EF方程为：，CD方程为：，

    联立解得也在P点轨迹上，因C与A不能重合，.

    ∴所求轨迹方程为…………………………20分

解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.……5分

    令，则因AD为△ABC的中线，

   

    而，

    ∴P是△ABC的重心.……………………………………………………10分

    设P（、C），因点C异于A，则，故重心P的坐标为

消去，得

    故所求轨迹方程为………………………………20分