Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）试探究满足EF∥平面A₁ABB₁的点F的位置，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）证法一：利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：利用面面平行的判定定理．

解答：证明：（1）∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
∴BC⊥AC₁．
（2）解法一：当AF=3FC时，EF∥平面AA₁B₁B．
证明如下：在平A₁B₁C₁内过E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，连接AG．
∵B₁E=3EC₁，∴

EG

A1C1

=

B1E

B1C1

=

3

4

，
又AF∥A₁C₁且

AF

AC

=

AF

A1C1

=

3

4

，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF?面AA₁B₁B，AG?平面AA₁B₁B，
∴EF∥平面AA₁B₁B．
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁．
证明：在平面ABC内过E作EG∥BB₁交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB₁，EG?A₁ABB₁，BB₁?平面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁．
∵B₁E=3EC₁，∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB?平面A₁ABB₁，FG?平面A₁ABB₁．
∴FG∥平面A₁ABB₁．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁．
∴EF∥平面A₁ABB₁．

点评：熟练掌握线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．