Question

（2007•嘉兴一模）已知f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)，f（x）的反函数为g（x），点A(an ，-

1

an+1

)在曲线y=g（x）上（n∈N^*），且a₁=1
（Ⅰ）求y=g（x）的表达式；
（Ⅱ）证明数列{

1

an2

}为等差数列；
（Ⅲ）设bn=

1

1 an + 1 an+1

，记S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=

1

x2-4

得x²-4=

1

y2

，x＜-2，从而可得f（x）的反函数y=g（x）的表达式；
（Ⅱ）点A_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=g（x）上（n∈N₊）⇒-

1

an+1

=g（a_n）=-

4+ 1 an2

，并且a_n＞0，进一步整理得

1

an+12

-

1

an2

=4（n≥1，n∈N），由等差数列的定义即可证得数列{

1

an2

}为等差数列；
（Ⅲ）依题意，可求得a_n=

1

4n-3

，继而可得b_n=

4n+1 - 4n-3

4

，累加后，正负项相消即可．

解答：解：（Ⅰ）由y=

1

x2-4

得x²-4=

1

y2

，
∴x²=4+

1

y2

∵x＜-2，
∴x=-

4+ 1 y2

，
∴g（x）=-

4+ 1 x2

（x＞0）…（3分）
（II）∵点A_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=g（x）上（n∈N₊），
∴-

1

an+1

=g（a_n）=-

4+ 1 an2

，并且a_n＞0，
∴

1

an+1

=

4+ 1 an2

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4（n≥1，n∈N），
∴数列{

1

an2

}为等差数列 …（7分）
（III）∵数列{

1

an2

}为等差数列，并且首项为

1

a12

=1，公差为4，
∴

1

an2

=1+4（n-1），
∴an2=

1

4n-3

，
∵a_n＞0，
∴a_n=

1

4n-3

，…（10分）
b_n=

1

1 an + 1 an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

4

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

5 -1

4

+

9 - 5

4

+…+

4n+1 - 4n-3

4

=

4n+1 -1

4

…（14分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查反函数的概念与等差关系的确定，考查抽象思维与综合运算能力，属于难题．