Question

已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t（其中0≤t≤2，t为常数），若直线l1，l2与函数f（x）的图象以及l1、l2、y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示．

（1）求a、b、c的值；

（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式．

 

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数过点并且最大为16，列方程组解；（2）定积分的基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量有关；（3）利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：一根据题意画简图;二确定被积函数；三确定积分的上限和下限，并求出交点坐标；四是运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积；（4）求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值，可为正，为负，也可以为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．

试题解析：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0,0），（8,0），并且f（x）的最大值为16，则

，解得 6分

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－x2＋8x． 7分

（2）由，得x2－8x－t（t－8）＝0，

∴x1＝t，x2＝8－t，

∵0≤t≤2，∴直线l2与f（x）的图象的交点坐标为（t，－t2＋8t）由定积分的几何意义知：

S（t）＝

＝[（－t2＋8t）x－（－＋4x2）]＋[（－＋4x2）－（－t2＋8t）x]

．

考点：（1）求二次函数的解析式；（2）利用定积分求阴影部分的面积