Question

【题目】某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒个单位的去污剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间单位：天）变化的函数关系式，近似为

,若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和. 由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.

（1）若一次喷洒个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

（2）若第一次喷洒个单位的去污剂，天后再唢洒个单位的去污剂，要使接来的天中能够持续有效去污，试求的最小值（精确到，参考数据: 取）.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）当空气中去污剂的浓度不低于（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用，所以解不等式，分段求解得：当时, 令,解得.当时, 令,解得.所以 ,（2）第一次喷洒个单位的去污剂，天后浓度为，再唢洒个单位的去污剂，接来的天中浓度为，因此接来的天中总浓度为，其中，由题意要求总浓度最小值不小于4，可根据基本不等式得总浓度最小值为，解不等式，即可得的最小值为.

试题解析：（1）因为一次喷洒个单位的去污剂, 所以空气中释放的浓度为,

当时, 令,解得,所以.

当时, 令,解得,所以.于是得,即一次投放个单位的去污剂, 有效去污时间可达天.

（2）设从第一次喷洒起, 经天, 浓度,

因为,而,故当且仅当时, 有最小值为.

令,解得的最小值为.