Question

【题目】已知，点是圆上的点，是线段的中点．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程;

（Ⅱ）过点的直线和轨迹有两个交点（不重合）,若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设M（x，y），则P（-5，0）关于M的对称点为Q（2x+5，2y），由此能求出轨迹C的方程．

（Ⅱ）设A，B，设直线l的方程是y=k（x+5），由方程组，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线l的方程．

试题解析：（Ⅰ）设，则关于的对称点为，

∵点是圆上的点，

∴，即，

所以轨迹的方程是．

（Ⅱ）① 设，由题意，直线的斜率存在，设为，则直线的方程是,

由方程组 得，，

由,得

∴，

∵，∴,

∴,

∴，

解得，，∴直线的方程是，

即直线的方程是或．

【另解】设坐标原点为，作，垂足为．

∵，∴,由（I）可知，,∴．

又，∴，

∴．∴直线的斜率，∴直线的方程是，

即直线的方程是或．