Question

【题目】（本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点,且,求证:直线过定点,并求出定点坐标；

（3）在（2）的条件下求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）过定点，证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由已知列出方程组，解出的值即可；（2）设，

,联立直线与椭圆组成的方程组，求出点与点，当时，过点直线过定点过定点，当时，直线过定点过定点，所以可得直线过定点；（3）由（2）写出三角形的面积表达式,由基本不等式可求其最大值.

试题解析：（1）由题意 即

（2）设，

由得

同理

i）时，过定点

ii）时过点过定点

（3）由（2）知

令时取等号时去等号，