Question

【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，点 在椭圆C上，延长交椭圆于N点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）P，Q为椭圆上的点，记线段MN，PQ的中点分别为A，B（A，B异于原点O），且直线AB过原点O，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为3

【解析】

（1）利用待定系数法以及椭圆的离心率即可求解.

（2）由（1）可知，可求，与椭圆联立，设，，根据设而不求的思想求出，设直线，

与椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出面积表达式，借助基本不等式即可求出.

（1）依题意，，

解得，，故椭圆C的方程为；

（2）由（1）可知，，故直线，

设，，则，两式相减得，

因为PQ不过原点，所以，即，

同理：，

又因为直线AB过原点O，所以，所以，

设直线，

由得，

由，得，

由韦达定理得，，

所以,

又因为到直线PQ的距离，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以面积的最大值为3．