Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC=

2

，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，（I）由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数．（II）求出两平面的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值即可．

解答：解：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=

π

2

．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=

2

，
从而B（0，0，0），A(

2

，  0，  0)，C(0，  

2

，  0)，B₁（0，0，3），A₁(

2

，  0，  3)，C₁(0，  

2

，  3)，D(

2

2

，  

2

2

，  3)，E(0，  

2

2

，  

3

2

)．
所以

CA1

=(

2

，  -

2

，  3)，
设AF=x，则F（

2

，0，x），

CF

=(

2

，  -

2

，  x)，  

B1F

=(

2

，  0，  x-3)，  

B1D

=(

2

2

，  

2

2

，  0).

CF

•

B1D

=

2

•

2

2

+(-

2

)•

2

2

+x•0=0，所以

CF

⊥

B1D

．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由

CF

•

B1F

=2+x（x-3）=0，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B₁DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）．
设平面B₁CF的法向量为n=（x，y，z），则由

n• CF =0 n• B1F =0

得

2 x- 2 y+z=0 2 x-2z=0

令z=1得n=(

2

，  

3

2

2

，  1)，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos?n，n1＞=

1

1× 2+ 9 2 +1

=

30

15

．

点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应．