Question

如图所示，在三棱锥P―ABC中，PA⊥底面ABC．PA=AB=BC=2，∠ABC=90°，M为棱PC的中点．

(1)求证：点P、A、B、C四点在同一球面上；

(2)求二面角A―MB―C的大小；

(3)求过P、A、B、C四点的球面中，A、B两点的球面距离．

Answer 1

解：(1)证明：由已知条件Rt△PAC中PM=MC，则MP=MC=MA．

    ∵

    ∴，

    则MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，

    即P、A、B、C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上，

(2)以AC为y轴，AP为轴建立空间直角坐标系A―，

则B()，M(0，，1)，C(0，，0)．

    设平面AMB的法向量为，

    ∵，

    由，得，所以

  同理，设平面BMC的法向量为，则

    ，解得

    所以．故二面角A一MB―C的大小为l20°．

(3)∵过P、A、B、C四点的球面的球心为M，半径为MC=，AB=2，

在△MAB中，，

    ∴∠AMB=arccos．

    故A、B两点的球面距离为arccos．