Question

设直线l与球O有且仅有一公共点P，从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径1和2，若这两个半平面α，β所成二面角为120⁰，则球O的表面积为

112π

3

．

Answer 1

分析：过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积．

解答：解：过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，如图
设球的半径为r，作OE⊥QP，OF⊥PM，则EP=1，PF=2，
设∠OPE=α，∠OPF=

2π

3

-α，
所以

rcosα

rcos( 2π 3 -α)

=

1

2

，
即sin α=3

3

cosα，sin²α+cos²α=1解得
cos²α=

1

28

所以r²=

28

3

；
所以球的表面积为：4πr²=4π×

28

3

=

112π

3

．
故答案为：

112π

3

．

点评：本题是中档题，考查二面角的有关知识，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．