Question

（2012•武汉模拟）在等差数列{a_n}中，满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若a₁＞0，当S_n取得最大值时，求n的值；
（Ⅱ）若a₁=-46，记b_n=

Sn-an

n

，求b_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），故d=-

2

23

a₁．由此能求出当S_n取得最大值时n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，故a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，S_n=-46n+

n(n-1)

2

×4=2n²-48n．
由此能求出b_n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），∴d=-

2

23

a₁．
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×（-

2

23

a₁）=-

1

23

a₁n²+

24

23

a₁n=-

1

23

a₁（n-12）²+

144

23

a₁．
∵a₁＞0，∴当n=12时，S_n取得最大值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
S_n=-46n+

n(n-1)

2

×4=2n²-48n．
∴b_n=

Sn-an

n

=

2n2-52n+50

n

=2n+

50

n

-52≥2

2n× 50 n

-52=-32，
当且仅当2n=

50

n

，即n=5时，等号成立．
故b_n的最小值为-32．…（12分）

点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．