Question

设椭圆的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率，右准线l上的两动点M、N，且．

(Ⅰ)若，求a、b的值；

(Ⅱ)当最小时，求证与共线．

Answer 1

答案：
解析：

解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧． 　　(Ⅰ)由已知，，．由，，∴． 　　又，∴，． 　　∴：，，． 　　延长交于，记右准线交轴于． 　　∵，∴． 　　由平几知识易证≌ 　　∴， 　　即，． 　　∵， 　　∴，，，． 　　∴，． 　　(Ⅰ)另解：∵，∴，． 　　又 　　联立，消去、得：， 　　整理得：，．解得．但解此方程组要考倒不少人． 　　(Ⅱ)∵，∴． 　　． 　　当且仅当或时，取等号．此时取最小值． 　　此时． 　　∴与共线． 　　(Ⅱ)另解：∵，∴，． 　　设，的斜率分别为，． 　　由，由 　　．当且仅当即，时取等号． 　　即当最小时，， 　　此时． 　　∴与共线．

提示：

本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．