Question

【题目】校园准备绿化一块直径为的半圆形空地，点在半圆圆弧上，△外的地方种草，△的内接正方形为一水池（，在边上），其余地方种花，若， ，设△的面积为，正方形面积为；

（1）用和表示和；

（2）当固定，变化时，求最小值及此时的角；

Answer 1

【答案】（1），，；（2）最小值为，此时；

【解析】

（1）据题知三角形为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积；设正方形的边长为，利用三角函数分别表示出BS和AS，利用列出方程求出，算出；
（2）可设来化简求出与的比值，利用对勾函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的.

解：（1）在中，，

，，
设正方形的边长为，则，
由，得，故，
所以，；
（2），
令，因为，
所以，则，
所以，
由对勾函数的单调性得：函数在上递减，
因此当时有最小值，
此时，，
所以当时，最小，最小值为.