Question

抛物线y²=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为：

 

．

Answer 1

分析：根据题意可求得抛物线的准线方程和焦点坐标，记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在l上的射影分别是A₁，B₁，M₁；利用抛物线的定义可求得|AF|=|AA₁|，|BF|=|BB₁|，进而表示出M到y轴的距离d，分析出当A，B，F共线时等号成立求得答案．

解答：解：抛物线的准线l的方程为：x=-

P

2

，焦点F（

P

2

，0），
记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在l上的射影分别是A₁，B₁，M₁；
于是有：|AF|=|AA₁|，|BF|=|BB₁|，
M到y轴的距离d=|MM₁|-

P

2

=

1

2

（|AA₁|+|BB₁|）-

P

2

=

1

2

（|AF|+|BF|）-

P

2

≥

1

2

|AB|-

P

2

=

a-P

2

，当且仅当A，B，F共线时等号成立．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．过焦点的弦最短是通径，长为2p．