Question

下列命题正确的是（　　）
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
②椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，则b=c(c为半焦距）．
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．

• A、②③④
• B、①④
• C、①②③
• D、①③

Answer 1

分析：①由圆的性质知此命题成立；②若椭圆的离心率e=

2

2

，则这个椭圆是等轴双曲线，所以②成立；③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离d=

|bc-0|

a2+b2

=

bc

c

=b．故③成立．④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-4p²．故④不成立．

解答：解：①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．由圆的性质知此命题成立．
②若椭圆的离心率e=

2

2

，则这个椭圆是等轴双曲线，所以②成立．
③∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是（c，0），相应的渐近线方程是bx-ay=0，
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离d=

|bc-0|

a2+b2

=

bc

c

=b．
故③成立．
④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-4p²．故④不成立．
故选C．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要熟练掌握圆曲线的基本性质．