题目内容

若椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1的焦点在x轴上，过点（1， $数学公式$ ）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

$\text{[math]}$
分析：设过点（1， $\text{[math]}$ ）的圆x²+y²=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x²+y²=1相切于点A（1，0）和B（0，2）．然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．
解答：设过点（1， $\text{[math]}$ ）的圆x²+y²=1的切线为l：y- $\text{[math]}$ =k（x-1），即kx-y-k+ $\text{[math]}$ =0
①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x²+y²=1相切于点A（1，0）；
②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d= $\text{[math]}$ =1，解之得k=- $\text{[math]}$ ，
此时直线l的方程为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，l切圆x²+y²=1相切于点B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
因此，直线AB斜率为k₁= $\text{[math]}$ =-2，直线AB方程为y=-2（x-1）
∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．
椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，椭圆方程为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的简单性质、圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a²=b²+c²．