题目内容

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1．
（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；
（2）若m=6，
①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明： $数学公式$ 是定值，并求出这个定值．

解：（1）由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，
所以实数m的取值范围是（4，8）；
（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，
①设点P坐标为（x，y），则 $\text{[math]}$ ，
因为点M的坐标为（1，0），
所以PM²=（x-1）²+y²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以当x= $\text{[math]}$ 时，PM的最小值为 $\text{[math]}$ ，此时对应的点P坐标为（ $\text{[math]}$ ）；
②由a²=6，b²=2，得c²=4，即c=2，
从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e= $\text{[math]}$ ，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点H（x₀，y₀），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
两式相减得， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
令k=k_AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y₀=- $\text{[math]}$ （x-x₀），
令y=0，则x_N=ky₀+x₀= $\text{[math]}$ ，
因为F（2，0），所以FN=|x_N-2|= $\text{[math]}$ ，
因为AB=AF+BF=e（3-x₁）+e（3-x₂）= $\text{[math]}$ |x₀-3|．
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由焦点在x轴上得，m＞8-m＞0，解出即可；
（2）①设点P坐标为（x，y），则 $\text{[math]}$ ，由两点间距离公式可表示出PM²，根据二次函数的性质即可求得PM²的最小值，从而得到PM的最小值，注意x的取值范围；②易求焦点F的坐标及右准线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点H（x₀，y₀），利用平方差法可用H坐标表示直线AB的斜率，用点斜式写出AB中垂线方程，从而得点N横坐标，进而得到线段FN的长，由第二定义可表示出线段AB长， $\text{[math]}$ 是定值可证；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及椭圆的第二定义，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．