Question

（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

m

+

y2

8-m

=1．
（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；
（2）若m=6，
①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：

AB

FN

 是定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（1）由焦点在x轴上得，m＞8-m＞0，解出即可；
（2）①设点P坐标为（x，y），则

x2

6

+

y2

2

=1，由两点间距离公式可表示出PM²，根据二次函数的性质即可求得PM²的最小值，从而得到PM的最小值，注意x的取值范围；②易求焦点F的坐标及右准线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点H（x₀，y₀），利用平方差法可用H坐标表示直线AB的斜率，用点斜式写出AB中垂线方程，从而得点N横坐标，进而得到线段FN的长，由第二定义可表示出线段AB长，

AB

FN

 是定值可证；

解答：解：（1）由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，
所以实数m的取值范围是（4，8）；
（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1，
①设点P坐标为（x，y），则

x2

6

+

y2

2

=1，
因为点M的坐标为（1，0），
所以PM²=（x-1）²+y²=x2-2x+1+2-

x2

3

=

2

3

x2-2x+3=

2

3

(x-

3

2

)2+

3

2

，x∈[-

6

，

6

]，
所以当x=

3

2

时，PM的最小值为

6

2

，此时对应的点P坐标为（

3

2

，±

5

2

）；
②由a²=6，b²=2，得c²=4，即c=2，
从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=

6

3

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点H（x₀，y₀），
则

x12

6

+

y12

2

=1，

x22

6

+

y22

2

=1，
两式相减得，

x12-x22

6

+

y12-y22

2

=0，即kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

3y0

，
令k=k_AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀），
令y=0，则x_N=ky₀+x₀=

2

3

x0，
因为F（2，0），所以FN=|x_N-2|=

2

3

|x0-3|，
因为AB=AF+BF=e（3-x₁）+e（3-x₂）=

2 6

3

|x₀-3|．
故

AB

FN

=

2 6

3

×

3

2

=

6

，即

AB

FN

为定值

6

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及椭圆的第二定义，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．