题目内容
【题目】如图，在几何体
中，四边形
是矩形，
平面
，
，
，
，
分别是线段
，
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）以B为原点，分别以
的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．
（Ⅰ）如图，取
的中点
连接
，
，又
是
的中点，
所以
，且
，
又
是
中点，所以
，
由四边形
是矩形得，
，
，
所以
且
.
从而四边形
是平行四边形，所以
，
∵DH平面ADE，GF平面ADE，∴GF∥平面ADE.
（Ⅱ）如图，在平面
内，过点
作
，因为
，所以
.又
平面，所以
，
.
以为原点，分别以
，
，
的方向为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，设
，则
，
，
，
.
因为平面，所以
为平面的法向量，设
为平面
的法向量. 又
，
,即
，取
，
，
，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
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