题目内容

已知F是椭圆C： $数学公式$ 的左焦点，过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，若|PF|•|QF|=9，则|PQ|=________．

2 $\text{[math]}$
分析：设P点的坐标为（m，n），利用椭圆的第二定义可表示出|PF|，|QF|，再利用|PF|•|QF|=9，可求得m，继而可求得n，从而可求得|PQ|．
解答：∵F是椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的左焦点，
∴F（-3，0），离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∵过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，设P点的坐标为（m，n），
则Q（-m，-n）．
设P点在该椭圆的左准线x=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 上的射影为P′，Q点在该椭圆的左准线x=- $\text{[math]}$ 上的射影为Q′，
由椭圆的第二定义得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =e= $\text{[math]}$ ，
∴|PF|= $\text{[math]}$ |PP′|= $\text{[math]}$ [m-（- $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ （m+ $\text{[math]}$ ），
同理可得，|QF|= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -m），
∵|PF|•|QF|=9，
∴ $\text{[math]}$ （m+ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -m）=9，
∴m²= $\text{[math]}$ ．
∵P（m，n）为椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的点，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴n²= $\text{[math]}$ ，
∴|PQ|²=4m²+4n²=4× $\text{[math]}$ =56，
∴|PQ|=2 $\text{[math]}$ ．
故答案为：2 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的第二定义，考查转化思想与方程思想，考查运算能力，求得P点的坐标是关键，也是难点，属于难题．