Question

已知函数f(x)=

1

1-x

，对于n∈N₊，定义f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，偶函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，g（x）=|f₂₀₀₉（x）|．
（1）求g（x）；
（2）若存在实数a，b（a＜b）使得该函数在[a，b]上的最大值为ma，最小值为mb，求非零实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件推导出迭代函数以3为周期，f2009(x)=f2(x)=

x-1

x

．由此能求出求g（x）．
（2）因为a＜b，ma＞mb＞0，所以m＜0，a＜b＜0；因为mb≠0，所以-1∉[a，b]．所以a，b是方程1+

1

x

=mx的两不同实根，⇒x2-

1

m

x-

1

m

=0在(-∞，-1)有两个不同实根，由此能求出非零实数m的取值范围．

解答：解：（1）因为f1(x)=f(x)=

1

1-x

，f2(x)=f(f1(x))=

1

1- 1 1-x

=

x-1

x

，f3(x)=f[f2(x)]=

1

1- x-1 x

=x
f4(x)=f[f3(x)]=

1

1-x

，
∴迭代函数以3为周期，
f2009(x)=f2(x)=

x-1

x

．…（5分）
设x＜0，则-x＞0，g(x)=g(-x)=|

-x-1

-x

|=|1+

1

x

|，
所以g(x)=

|1+ 1 x |，x＜0 |1- 1 x |，x＞0

…（9分）
如图：
（2）∵a＜b，ma＞mb＞0
∴m＜0，a＜b＜0；…（12分）
∵mb≠0，
∴-1∉[a，b]（否则m=0，mb=ma=0，矛盾），
当a＜b＜-1，则f(x)=1+

1

x

在(-∞，-1]上是减函数，由题意

1+ 1 a =ma 1+ 1 b =mb

，
所以a，b是方程1+

1

x

=mx的两不同实根，⇒x2-

1

m

x-

1

m

=0在(-∞，-1)有两个不同实根，

△= 1 m2 + 4 m ＞0 g(-1)=1+ 1 m - 1 m ＞0⇒- 1 4 ＜m＜0…((15分)) 1 2m ＜-1

当-1＜a＜b＜0时，则f(x)=-1- 1 x 在(-1，0)上是增函数，由题意 -1- 1 a =mb -1- 1 b =ma ⇒a=b不合.

综上所述-

1

4

＜m＜0．（19分）．

点评：本题考查函数的周期性和函数最值的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．易错点是综合性强，难度大，基础不牢，找不准解题思路．