Question

若函数f(x)=

1

x

+

1

1-x

的定义域为（0，1），则f（x）的值域为（　　）

• A．[1，+∞）
• B．[2，+∞）
• C．[

  3

  2

  ，+∞)
• D．[4，+∞）

Answer 1

分析：化简得f(x)=

1

x(1-x)

，根据x∈（0，1）利用基本不等式求出分母x（1-x）的最大值为

1

4

，得0＜

1

f(x)

≤

1

4

，解之即可得到函数f（x）的值域．

解答：解：f(x)=

1

x

+

1

1-x

=

1-x+x

x(1-x)

=

1

x(1-x)

∵x∈（0，1），得x＞0且1-x＞0，
∴x（1-x）≤[

x+(1-x)

2

]2=

1

4

，当且仅当x=1-x时，即x=

1

2

时等号成立．
可得0＜x（1-x）≤

1

4

，
又∵f(x)=

1

x(1-x)

，得x（1-x）=

1

f(x)

，
∴0＜

1

f(x)

≤

1

4

，解之得f（x）≥4，即函数f（x）的值域为[4，+∞）
故选：D

点评：本题给出分式函数，求函数在区间（0，1）上的值域．着重考查了基本不等式求最值、分式函数值域的求法等知识，属于中档题．