Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，并且a₁=1，对任意正整数n，S_n+1=4a_n+2；设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（II）设的前n项和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+1=4a_n+2，知S_n=4a_n-1+2（n≥2），所以a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），由此可知b_n=3•2^n-1（n∈N*）．
（II）由题意知，，由此可知．
解答：解：（I）∵S_n+1=4a_n+2，∴S_n=4a_n-1+2（n≥2），
两式相减：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），∴a_n+1=4（a_n-a_n-1）（n≥2），∴b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1，b_n+1=2（a_n+1-2a_n）=2b_n（n∈N*），
∴，∴{b_n}是以2为公比的等比数列，（4分）
∵b₁=a₂-2a₁，而a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=3a₁+2=5，b₁=5-2=3，
∴b_n=3•2^n-1（n∈N*）（7分）
（II），
∴，（9分）
而，
∴（12分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．