题目内容

在数列{an}中，a1=1，an+1=
2a n
2+an
(n∈N*)，
（1）计算a2，a3，a4
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
（1）：a2=
2a 1
2+a1
=
2
3
，a3=
2a 2
2+a2
=
2
4
，a4=
2a 3
2+a3
=
2
5
，
（2）：猜想an=
2
n+1

下面用数学归纳法证明这个猜想．①当n=1时，a1=1，命题成立．
②假设n=k时命题成立，即ak=
2
k+1

当n=k+1时ak+1=
2a k
2+ak
=
2×
2
k+1
2+
2
k+1
(把假设作为条件代入)=
4
2(k+1)+2
=
2
(k+1)+1

由①②知命题对一切n∈N*均成立．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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