Question

设常数a＞0，展开式中x³的系数为-，则a=    ，=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，
（2）再求等比数列的前n项和，s_n=，且aⁿ=0（∵a＜1），从而得解．
方法2：由a=＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．
解答：解：（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-，∴a=．故答案为

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=，
∴（a+a²+…+aⁿ）==（∵a＜1时，aⁿ=0）
==．
故答案为．
方法2：由a=，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（s_n=），
可知（a+a²+…+aⁿ）=═=．
故答案为．
点评：本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．
（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时，aⁿ=0，方法2：要记住无穷递降等比数列各项和公式s_n=．在选择填空中可以加快速度．