Question

已知 3cos²α+2sin2α=-1．
求：（1）tanα的值；
（2）3cos2α+4sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）将已知的等式右边的-1移项到左边，并把1化为sin²α+cos²α，并利用二倍角的正弦函数公式化简，然后利用完全平方公式整理后，开方可得出2cosα=-sinα，等式左右两边同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可求出tanα的值；
（2）把所求式子分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系把“1”化为sin²α+cos²α，同时将分母“1”化为sin²α+cos²α，整理后分子分母同时除以cos²α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵3cos²α+2sin2α=-1，即3cos²α+4sinαcosα+1=0，
变形为4cos²α+4sinαcosα+sin²α=0，即（2cosα+sinα）²=0，
∴2cosα=-sinα，
∴tanα=-2；…（5分）
（2）3cos2α+4sin2α=3（2cos²α-1）+8sinαcosα=3（cos²α-sin²α）+8sinαcosα
=

3(cos2α-sin2α)+8sinαcosα

sin2α+cos2α

=

-3tan2α+8tanα+3

tan2α+1

=-5．…（10分）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．