Question

如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：（O为原点）且
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据条求出A，B，P三点的坐标，结合求出D的坐标，再根据即可求出a和b之间的关系，进而求出曲线的离心率；
（2）先假设存在定点C（0，n）使为常数u，设MN的方程为y=kx-1；联立直线方程与双曲线方程求出M，N的坐标与k之间的关系以及k所满足的范围；再求出的值结合为常数即可得出结论．
解答：解：（1）由题得B（0，-b），A（，P（c，）
∵2
∴D为线段FP的中点  （1分）
∴D（c，，
∵
即A、B、D共线（2分）
∴而?，
?∴-得a=2b
∴e=（4分）?
（2）∵a=2而e=
∴双曲线方程为①（5分）
∴B（0，-1）
假设存在定点C（0，n）使为常数u，设MN的方程为y=kx-1   ②（6分）
由②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由题意得得
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴?（8分）
而?
=?
整理得：[4（n+1）²-8n-4u]k²+[8-（n+1）²+u]=0     （10分）
对满足，
∴解得n=4，u=17
故存在y轴上的定点C（0，4），使为常数17    （14分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．