Question

某季节性水果A在上市当月的第x天（1≤x≤30，x∈N₊）的销售价格p=50-|x-6|（元∕百斤），一水果商在第x天（1≤x≤30，x∈N₊）销售水果A的量为q=a+|x-8|（百斤）（a为常数），且该水果商在第7天销售水果的销售收入为2009元．
（1）求该水果商在第10天销售水果的销售收入；
（2）这30天中该水果商在哪一天的销售收入最大，为多少？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用条件，求解第10天的销售收入即可．
（2）设第x天的销售收入为W_x，W_x=

(44+x)(48-x)1≤x≤6 2009x=7 (56-x)(32+x)8≤x≤30.

，利用分段函数求出W₂＞W₇＞W₁₂，推出第2天该水果商的销售收入最大以及最大值．

解答： 解：（1）由已知第7天的销售价格p=49，
∴第7天的销售收入W₇=49×（a+1）=2009（元），∴a=40．
第10天的销售收入W₁₀=46×42=1932（元）.5分
（2）设第x天的销售收入为W_x，则W_x=

(44+x)(48-x)1≤x≤6 2009x=7 (56-x)(32+x)8≤x≤30.

当1≤x≤6时，W_x=（44+x）（48-x）≤（

(44+x)+(48-x)

2

）²=2116（当且仅当x=2时取等号），
∴当x=2时取最大值W₂=2116元．
当8≤x≤30时，W_x=（56-x）（32+x）≤（

(56-x)+(32+x)

2

）²=1936（当且仅当x=12时取等号），
∴当x=12时取最大值W₁₂=1936元．
由于W₂＞W₇＞W₁₂，∴第2天该水果商的销售收入最大，为2116元.12分．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，分段函数的应用，考查最值的求法，考查计算能力．