Question

8．设函数f（x）=（x-1）²，g（x）=a（lnx）²，其中a∈R，且a≠0．
（I）若直线x=e（e为自然对数的底数）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于 A、B两点，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+mlnx（m∈R，且m≠0）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：$h（{x_2}）＞\frac{1-2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出两个函数的导数，通过f′（e）=2（e-1求解a即可．
（Ⅱ）求出h（x）的导数，利用两个极值点x₁，x₂，推出$h（{x_2}）={（{x_2}-1）^2}+（2{x_2}-2x_2^2）ln{x_2}$，构造函数φ（t）=（t-1）²+（2t-2t²）lnt，$\frac{1}{2}＜t＜1$．利用函数的导数，求出函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f′（x）=2（x-1），$g'（x）=\frac{2alnx}{x}$，…（2分）
所以f′（e）=2（e-1），$g'（e）=\frac{2alne}{e}=\frac{2a}{e}$．
由f′（e）=g′（e），得a=e²-e．…（5分）
（Ⅱ）$h'（x）=2（x-1）+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}$，x＞0．
因为h（x）有两个极值点x₁，x₂，所以x₁，x₂是方程2x²-2x+m=0的两个实数根，x₁+x₂=1．而0＜x₁＜x₂，所以$\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$．
因为$m=-2{x_2}^2+2{x_2}$，所以$h（{x_2}）={（{x_2}-1）^2}+（2{x_2}-2x_2^2）ln{x_2}$．…（8分）
令φ（t）=（t-1）²+（2t-2t²）lnt，$\frac{1}{2}＜t＜1$．
则$φ'（t）=2（t-1）+（2-4t）lnt+（2t-2{t^2}）•\frac{1}{t}=2（1-2t）lnt＞0$，
所以φ（t）在$（\frac{1}{2}\;，\;1）$内是增函数．
于是$φ（t）＞φ（\frac{1}{2}）=\frac{1-2ln2}{4}$，即$h（{x_2}）＞\frac{1-2ln2}{4}$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的单调性以及构造法的应用，函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力．