Question

已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（－4，0）.
（1）求证：当时.，；
（2）若当时有，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6时, 求出直线MN的方程.

Answer 1

（1）见解析
（2）椭圆C的方程为
（3）直线的MN方程为，或。

（1）设，
则，
当时，，
由M，N两点在椭圆上，
若，则（舍去），  （4分）
 。（5分）
（2）当时，不妨设 （6分）
又，，（8分）
椭圆C的方程为。 （9分）
（3）因为=6, （10分）
由(2)知点F(2,0), 所以|AF|="6, " 即得|y_M-y_N|= （11分）
当MN⊥x轴时, |y_M-y_N|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, （12分）
不妨设直线MN的方程为
联立，得，
=, 解得k=±1。
此时，直线的MN方程为，或。 （14分）