Question

已知椭圆C：，其短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，） 满足m≠0，且．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；
（Ⅲ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的标准方程即可得出a，b，利用c²=a²-b²即可得到c，再利用离心率的计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用点斜式分别写出直线AM，BM的方程，与椭圆的方程联立，即可得到点E，F的坐标；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）得到直线EF的方程，令x=0，即可得到y的值．
解答：解：（Ⅰ）依题意知a=2，，∴；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁=，直线BM斜率为k₂=，
∴直线AM的方程为y=，直线BM的方程为y=，
由得（m²+1）x²-4mx=0，
∴，∴，
由得（9+m²）x²-12mx=0，
∴，∴；                
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
k_EF==．
∴直线EF的方程为：，
令x=0，得y==2，
∴直线EF与y轴的交点为（0，2）与m无关．
点评：熟练掌握椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点斜式等是解题的关键．本题需要较强的计算能力．