Question

（2013•丰台区二模）已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，其短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，

1

2

） 满足m≠0，且m≠±

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；
（Ⅲ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的标准方程即可得出a，b，利用c²=a²-b²即可得到c，再利用离心率的计算公式e=

c

a

即可得出；
（Ⅱ）利用点斜式分别写出直线AM，BM的方程，与椭圆的方程联立，即可得到点E，F的坐标；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）得到直线EF的方程，令x=0，即可得到y的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意知a=2，c=

3

，∴e=

3

2

；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁=-

1

2m

，直线BM斜率为k₂=

3

2m

，
∴直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，∴E(

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

)，
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

，∴F(

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

)；                
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
k_EF=

9-m2 m2+9 - m2-1 m2+1

12m m2+9 - 4m m2+1

=-

m2+3

4m

．
∴直线EF的方程为：y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=

m2-1

m2+1

+

m2+3

m2+1

=2，
∴直线EF与y轴的交点为（0，2）与m无关．

点评：熟练掌握椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点斜式等是解题的关键．本题需要较强的计算能力．