Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P、N分别是边A₁B₁、BC的中点．侧棱AA₁=2，M为棱AA₁上的一点，且AM=
（1）求证：MN⊥MP；
（2）求二面角N-MP-B的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取B₁C₁的中点Q，根据勾股定理算出三角形MNP的三边长，只要其满足勾股定理即可说明结论成立；
（2）过N作NH⊥AB，可以得到∠NMH是二面角N-MP-B的平面角；然后通过求三角形的边长即可求出结论．
解答：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取B₁C₁的中点Q，

∴MN⊥MP．…（6分）
（2）过N作，

连HM，又MN⊥MP，NH⊥MP，则MP⊥HM
∴∠NMH是二面角N-MP-B的平面角，
…（12分）
点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．