题目内容

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交C于A、B两点，若AB⊥AF2，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】分析：首先利用椭圆定义和|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，能够得出|AB|=，然后|AF1|=x，进而表示出|AF2|=2a-x，|BF1|=-x，|BF2|=2a-（-x）=+x
；再由AB⊥AF2利用勾股定理得出|AF1|2+|AF2|2=4c2，|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，通过整理能够得出a2=2c2，即可求出离心率．
解答：解：有定义易知|AB|=
设|AF1|=x
则|AF2|=2a-x|BF1|=-x|BF2|=2a-（-x）=+x
∵AB⊥AF2
∴|AF1|2+|AF2|2=4c2
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2
即：
由②得：x=a
代入①，有（2a-a）2+a2=4c2 即a2=2c2
∴离心率e==
故选B．
点评：本题考查了等差数列的性质以及椭圆的简单性质，由椭圆定义和|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，能够得出|AB|=是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为
1
2
且经过点P(1，
3
2
)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆的左、右焦点分别为，其右准线上上存在点（点在 轴上方），使为等腰三角形．

⑴求离心率的范围；

    ⑵若椭圆上的点到两焦点的距离之和为，求的内切圆的方程．

已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

 

（本题满分14分）     已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中

F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且  

（I）求椭圆C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。

 

（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点的直线与该椭圆交于M、N两点，且，求直线的方程．

 

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