Question

17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=2$\sqrt{3}$，$\frac{asinA+bsinA-csinC}{sinBsinC}$=4，若b∈[1，3]，则c的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知，整理可得a²-c²=4bsinC-b²，又由余弦定理可得a²-c²=2abcosC-b²，结合已知利用同角三角函数基本关系式可求cosC=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理可求c²=（b-$\sqrt{3}$）²+9，利用二次函数的图象和性质，结合范围b∈[1，3]，即可求值得解．

解答 解：∵$\frac{asinA+bsinA-csinC}{sinBsinC}$=4，可得：asinA+bsinA-csinC=4sinBsinC，
∴由正弦定理可得：a²+ab-c²=4bsinC，整理可得：a²-c²=4bsinC-b²，
又∵由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，可得：a²-c²=2abcosC-b²，
∴4bsinC-b²=2abcosC-b²，整理可得：2sinC=acosC，
∴由a=2$\sqrt{3}$，解得：tanC=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{1}{2}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=12+b²-2$\sqrt{3}$b=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
∵b∈[1，3]，
∴当b=$\sqrt{3}$时，c取最小值为3．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．