Question

已知f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d．(a，c，d∈R)，满足f（0）=0，f'（1）=0．
且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d；
（2）若h(x)=

3

4

x2-(b+b2-

1

2

)x+b3-

1

4

，（b∈R）解关于x的不等式：f'（x）+h（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）根据f（0）=0得到d=0，求出导函数，据f'（1）=0得到a+c=

1

2

，根据f'（x）≥0在R上恒成立，结合二次函数的图象得到

a＞0 △=(- 1 2 )2-4a( 1 2 -a)≤0

，进一步求出a，c，d的值．
（2）将f'（x），h（x）代入不等式f'（x）+h（x）＜0中，通过对b的分类讨论，求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（0）=0
∴d=0
∴f′(x)=ax2-

1

2

x+c
由f'（1）=0有a+c=

1

2

，
∵f'（x）≥0在R上恒成立，
即：ax2-

1

2

x+c≥0恒成立
显然a=0时不满足条件，
∴

a＞0 △=(- 1 2 )2-4a( 1 2 -a)≤0

即

a＞0 △=(a- 1 4 )2≤0

∴a=

1

4

∴a=c=

1

4

（2）f′(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

∴f'（x）+h（x）＜0即x²-（b+b²）x+b³＜0，
即（x-b）（x-b²）＜0，
∴当b＞b²时，即0＜b＜1时，解集为（b²，b）；
当b=b²时，即b=0或b=1时，解集为?；
当b＜b²时，即b＜0或b＞1时，解集为（b，b²）．

点评：本题考查解决二次不等式恒成立，一般结合二次函数的图象，从开口方向，判别式，对称轴与区间的关系，端点函数值的符号加以限制，属于中档题．