题目内容
设等差数列{an}，{bn}前n项和Sn，Tn满足
=
，且
+
=
，S2=6；函数g(x)=
(x-1)，且cn=g（cn-1）（n∈N，n＞1），c1=1．
（1）求A；
（2）求数列{an}及{cn}的通项公式；
（3）若dn=
，试求d1+d2+…+dn．
| Sn |
| Tn |
| An+1 |
| 2n+7 |
| a3 |
| b4+b6 |
| a7 |
| b2+b8 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
（1）求A；
（2）求数列{an}及{cn}的通项公式；
（3）若dn=
|
（1）∵{an}，{bn}是等差数列，
由
+
=
，得
+
=
=
=
，
而
=
=
=
，
∴
=
，解得A=1；
（2）令Sn=kn（n+1），∵S2=6，得6k=6，k=1，即Sn=n2+n．
当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=2n，
该式对n=1时成立，所以an=2n；
由题意cn=
(cn-1-1)，变形得cn+1=
(cn-1+1)（n≥2），
∴数列{cn+1}是
为公比，以c1+1=2为首项的等比数列．
cn+1=2•(
)n-1，即cn=(
)n-2-1；
（3）当n=2k+1时，d1+d2+…+dn=（a1+a3+…a2k+1）+（c2+c4+…+c2k）
=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1-1）+（
-1）+…+（
-1）]
=2(k+1)2+
[1-(
)k]-k=2k2+3k+2+
[1-(
)k]
=
+
[1-(
)n-1]．
当n=2k时，d1+d2+…+dn=（a1+a3+…a2k-1）+（c2+c4+…+c2k）
=[2+6+10+…+2（2k-1）]+[（1-1）+（
-1）+…+（
-1）]
=2k2-k+
[1-(
)k]=
+
[1-(
)n]．
综上：d1+d2+…dn=
．
由
| a3 |
| b4+b6 |
| a7 |
| b2+b8 |
| 2 |
| 5 |
| a3 |
| 2b5 |
| a7 |
| 2b5 |
| 2a5 |
| 2b5 |
| a5 |
| b5 |
| 2 |
| 5 |
而
| S9 |
| T9 |
| ||
|
| a5 |
| b5 |
| 2 |
| 5 |
∴
| 9A+1 |
| 2×9+7 |
| 2 |
| 5 |
（2）令Sn=kn（n+1），∵S2=6，得6k=6，k=1，即Sn=n2+n．
当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=2n，
该式对n=1时成立，所以an=2n；
由题意cn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴数列{cn+1}是
| 1 |
| 2 |
cn+1=2•(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）当n=2k+1时，d1+d2+…+dn=（a1+a3+…a2k+1）+（c2+c4+…+c2k）
=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1-1）+（
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 22k-2 |
=2(k+1)2+
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
=
| n2+n+2 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
当n=2k时，d1+d2+…+dn=（a1+a3+…a2k-1）+（c2+c4+…+c2k）
=[2+6+10+…+2（2k-1）]+[（1-1）+（
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 22k-2 |
=2k2-k+
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| n2-n |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
综上：d1+d2+…dn=
|
练习册系列答案
相关题目