Question

1．已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，求下列各式的值：
（1）$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}}+3$；
（2）x²-x^-2．

Answer 1

分析 （1）由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2，${x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}$=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）$（x-1+x^-1），即可得出．
（2）（x-x^-1）²=x²+x^-2-2=5，可得x-x^-1=$±\sqrt{5}$，即可得出x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）．

解答 解：（1）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=3，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=7，${x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}$=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）$（x-1+x^-1）=$\sqrt{5}×（3-1）$=2$\sqrt{5}$．
∴原式=$\frac{2\sqrt{5}+2}{7}+3$=$\frac{2\sqrt{5}+23}{7}$．
（2）（x-x^-1）²=x²+x^-2-2=7-2=5，
∴x-x^-1=$±\sqrt{5}$，
∴x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=±3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了乘法公式、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．