Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=k在区间[-1，2]上只有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法，设二次函数f（x）的解析式，代入f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x中，可求得系数a、b、c，即f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）=x²-2x-1，x∈[-1，2]的图象，结合图象解答本题；
另解：方程f（x）=k可化为（x-1）²=2+k，讨论k的值，使方程在[-1，2]上只有一个实根．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c（a≠0），f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c（a≠0）；
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x，
∴a=1，b=-2，c=-1，
∴函数f（x）的解析式为：
f（x）=x²-2x-1；
（2）函数f（x）=x²-2x-1，x∈[-1，2]的图象如图所示：；
当直线y=k与图象的交点情况是：
当k=-2时，只有一个交点；
当-2＜k≤-1时，有两个交点；
当-1＜k≤2时，只有一个交点；
所以，方程f（x）=k在区间[-1，2]上只有一个实数根，
此时k=-2或-1＜k≤2；
另解：
方程f（x）=k可化为：（x-1）²=2+k，
当k≥-2时，有两个实根：x1=1-

2+k

， x2=1+

2+k

；
∵k=-2时，x₁=x₂=1∈[-1，2]；-2＜k≤-1时，x₁，x₂∈[-1，2]，此时方程在区间[-1，2]上有两个根；-1＜k≤2时，x₁∈[-1，2]，x₂＞2，此时方程在区间[-1，2]上只有一个根；
所以，若方程f（x）=k在区间[-1，2]上只有一个实数根，k的取值范围是-1＜k≤2．

点评：本题用代数法讨论（2）时，如果将两个相等的根，不认为是一个根，也是可以的．事实上，用代数法讨论时，注意到对称轴是x=1，则大根在区间内，小根必在；小根不在区间，大根则必不在，这样讨论会很清晰．