Question

已知c＞0，p：函数y=c^x是R上的减函数；q：当x∈[

1

2

，2]时，函数f(x)=x+

1

x

＞c2-

5

2

c+3恒成立．若p∧q为假命题且p∨q是真命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为假命题且p∨q是真命题，则p、q一个是假命题，一个是真命题，进行讨论求c的取值范围即可．

解答：解：若p是真命题，则0＜c＜1； 
若命题p是真命题，由x∈[

1

2

，2]得，函数f(x)=x+

1

x

的值域为[2，

5

2

]，
∴有c2-

5

2

c+3＜2⇒

1

2

＜c＜2．
若p∧q为假命题且p∨q是真命题，
则p，q有且只有一个为真．
（1）若p真q假，则

0＜c＜1 c≥2或c≤ 1 2

，解得0＜c≤

1

2

；
（2）若p 假q真，则

c≥1 1 2 ＜c＜2

，解得1≤c＜2．
故实数c的取值范围是(0，

1

2

]∪[1，2)．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q的等价条件是解决本题的关键．