Question

已知c＞0，p：函数y=cx是R上的减函数；q：当x＞0时，函数f(x)=x+

1

x

＞

1

c

恒成立．如果p∨q为真，且p∧q为假，求c的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：∵若命题p：函数y=c^x为减函数为真命题，则0＜c＜1
当x＞0时，函数f（x）=x+

1

x

≥2，（当且仅当x=1时取等）
若命题q为真命题，则

1

c

＜2，结合c＞0可得：c＞

1

2

，
根据复合命题真值表得：若p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；
当p真q假时，0＜c≤

1

2

，
当p假q真时，c≥1
故c的范围为（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．