Question

设P是以F₁、F₂为焦点的椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞b＞0)上的任一点，∠F₁PF₂最大值是120°，求椭圆离心率．

Answer 1

分析：先根据椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF₁F₂=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1，进而根据均值不等式确定|PF₁||PF₂|的范围，进而确定cos∠PF₁F₂的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆的离心率．

解答：解：根据椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a
cos∠PF₁F₂=

|PF 1|2+|PF 2|2-|F1F2|2

2|PF1| |PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=-

1

2

∴a²=4b²
∴c²=

a2-b2

=3b²
∴e=

c

a

=

3

2

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．