Question

（本题满分16分）数列的前项和记为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和；
（3）设有项的数列是连续的正整数数列，并且满足：
．
问数列最多有几项？并求这些项的和．

Answer 1

（1）（2）（3）数列最多有9项，和为63.

试题分析：（1）由得，
相减得，即．
又，得，
数列是以1为首项2为公比的等比数列，
．                                                          ……5分
（2）由（1）知．


.                                            ……10分
（3）由已知得．
又是连续的正整数数列，
．上式化为．                           ……12分
又，消得．
，由于，
，时，的最大值为9.
此时数列的所有项的和为.                        ……16分
点评：由数列的递推公式求数列的通项公式有累加、累乘和构造新数列法，求数列的前n项和有公式法、分组法、错位相减法和裂项相消法等.