Question

设F₁、F₂是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF₁|：|PF₂|=2：1，则△PF₁F₂的面积等于

4

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程，得a=3，椭圆的焦点为F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0）．由椭圆的定义结合|PF₁|：|PF₂|=2：1，得|PF₁|=4，|PF₂|=2，结合勾股定理的逆定理得△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，由此不难得到△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵椭圆的方程为

x 2

9

+

y 2

4

=1，
∴a=3，b=4，c=

a2-b2

=

5

．得椭圆的焦点为F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，且|PF₁|：|PF₂|=2：1
∴|PF₁|=4，|PF₂|=2可得|PF₁|²+|PF₂|²=20=|F₁F₂|²，
因此，△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，
得△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=4
故答案为：4

点评：本题给出椭圆的两条焦半径的比值，求焦点三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．