Question

18．已知边长为4的等边△ABC中，|PA|=1，在点P的轨迹上任取一点E，则$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CE}$的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8+4$\sqrt{3}$
• D． 9+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 建立坐标系，求出B，C的坐标，设E（cosα，sinα），将$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CE}$表示为关于α的函数，利用三角函数的恒等变换求出最值．

解答 解：以A为原点，AC为x轴建立坐标系，
∵△ABC是以4为边长的等边三角形，
∴C（4，0），B（2，2$\sqrt{3}$），A（0，0）．
∵|PA|=1，∴P点轨迹为单位圆．
设E（cosα，sinα），则$\overrightarrow{BE}$=（cosα-2，sinα-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（cosα-4，sinα）．
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$=（cosα-2）（cosα-4）+sinα（sinα-2$\sqrt{3}$）=cos²α-6cosα+8+sin²α-2$\sqrt{3}$sinα=-2$\sqrt{3}$sinα-6cosα+9=4$\sqrt{3}$sin（α+φ）+9．
∴当sin（α+φ）=1时，$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$取得最大值9+4$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于中档题．