Question

（本题满分9分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2) 求二面角A－DF－B的大小.

(3）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

Answer 1

（9分） 方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,           

 ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，                  

∴AM∥OE.                                     

∵平面BDE， 平面BDE，           

        ∴AM∥平面BDE.                                    3分

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，                            

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.                       1分

在RtΔASB中，

∴               

∴二面角A—DF—B的大小为60º.                              2分

（Ⅲ）如图建系               1分

设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，            

∴PQ⊥QF.                                     

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴                         

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴                 

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点.               2分                        

方法二（ 仿上给分）（1）建立如图所示的空间直角坐标系.

    设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

    ∴=(, 又点A、M的坐标分别是

  （）、（ ∴ =（

∴且NE与AM不共线，∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF.

（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF.∴ 为平面DAF的法向量.∵NE·DB=（·=0，

∴NE·NF=（·=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE为平面BDF的法向量.∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.

(3）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴DA=（0，，0，），又∵PF和AD所成的角是60º.

∴

解得或（舍去），点P是AC的中点.