Question

（08年西城区抽样测试文）（14分）

设等差数列的各项均为整数，其公差，.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，且 成等比数列，求；

（Ⅲ）若 成等比数列，求的取值集合.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因为等差数列的各项均为整数，所以. …….. 1分

由，得，即，解得.

注意到，且，所以 或                . 3分

（Ⅱ）解：

由，，得，

从而，   故.    ….. 5分

由成等比数列，得此等比数列的公比为，

从而

由，解得， .               …….. 7分

（Ⅲ）解：

由， 得.

由成等比数列，得.

由，化简整理得              …….. 9分

因为，从而，

又且， 从而是的非的正约数， 故          ………….. 10分

① 当或时，，

这与的各项均为整数相矛盾，  所以，且.              …….. 11分

② 当时，由，

但此时，这与的各项均为整数相矛盾，   所以，.  ….. 12分

③ 当时，同理可检验，  所以，.            …….. 13分

当时，由（Ⅱ）知符合题意.

综上，的取值只能是，即的取值集合是.                 …….. 14分